等比数列中项公式（等比数列中项公式的推导）

最佳答案等比数列中项公式的推导小标题一：等比数列的概念 在数学中，我们经常会遇到一种特殊的序列，这种序列被称为等比数列。等比数列是指每一项与其前一项的比值都相等的数列。设等比...

等比数列中项公式的推导

小标题一：等比数列的概念

在数学中，我们经常会遇到一种特殊的序列，这种序列被称为等比数列。等比数列是指每一项与其前一项的比值都相等的数列。设等比数列的首项为a，公比为r，则这个数列可以表示为：

a, a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n

其中，a₁ = a × r，a₂ = a × r²，a₃ = a × r³，...，a_n = a × rⁿ。

可以看出，等比数列中的每一项都是前一项与公比的乘积。

小标题二：求等比数列的第n项

现在我们来推导等比数列中项的通项公式。设等比数列的第n项为a_n，我们希望找到一个式子来直接计算a_n。

根据上述等比数列的定义，我们知道a_n = a × rⁿ。

然而，这个式子并不是我们要找的通项公式，因为在使用这个式子时需要知道首项a和公比r的值。我们希望找到一个式子，它只与项数n有关，而与具体的数值无关。

我们注意到，a_n-1 = a × r^n-1。将这个式子代入a_n = a × rⁿ，我们得到：

a_n = a_n-1 × r

同样地，我们可以将a_n-2 = a × r^n-2代入a_n-1 = a × r^n-1，继续推导，我们得到：

a_n = a_n-2 × r²

以此类推，我们可以一直推导到：

a_n = a₁ × r^n-1

这就是等比数列中项的通项公式。它告诉我们，等比数列的第n项等于首项与公比的n-1次方的乘积。

小标题三：等比数列中项公式的应用

等比数列中项公式在实际中有着广泛的应用。例如，我们可以用这个公式来计算等比数列的某一项的值，或者用来确定等比数列中项的位置。同时，我们也可以利用等比数列中项公式来解决一些实际问题。

例如，假设一个等比数列的首项为2，公比为3，我们想要计算该等比数列的第10项。根据等比数列中项公式，我们有：a₁₀ = 2 × 3^10-1 = 2 × 3⁹ = 2 × 19683 = 39366。

同样地，我们可以用等比数列中项公式来确定等比数列中项的位置。例如，假设一个等比数列的首项为1，公比为2，我们想要找到第一个大于100的项。我们可以设a_n > 100，然后解方程a_n = 1 × 2^n-1 > 100。通过求解这个方程，我们可以得到最小的n，从而确定第一个大于100的项的位置。

综上所述，等比数列中项公式在数学和实际中都有着重要的应用，通过这个公式，我们可以高效地计算等比数列的每一项，解决与等比数列相关的问题。